Omar Khayyami（约1048～1131） 阿拉伯数学家、天文学家。生于波斯胡拉桑州内布尔，卒于同地。早年受到 良好的教育，爱好诗歌，的一些诗集流传至今。曾在内沙布尔天文台工作，和他学者一起对当时的历法进行了一次改革。奥马·海姆最著名的数学著作是《代数问题的证明》，其阿拉文手稿和拉丁文译本已保存下来，近代被译成多种文字。 此书定义 代数学为“ 解方程的科学”，这定义一直保到19世纪末。

背景介绍

　　奥马出生之前，西亚地区政局动荡不安．11—12世纪，塞尔柱(Seljuk)突厥人(Turk)在那里建立一个庞大但不稳固的军事帝国，占有两河流域和现在的伊朗、叙利亚、巴勒斯坦、格鲁吉亚、亚美尼亚等地．奥马早年在家乡受教育，以后成为一名家庭教师，生活是清苦的，没有很多闲暇去从事科学研究．奥马在他的《代数学》中写道：“我不能集中精力去学习这种u2018代数学u2019，时局的变乱阻碍着我，……．”尽管如此，奥马仍然写出了颇有价值的《算术问题》(Problems of arithmetic)和一本关于音乐的小册子．

工作经历

　　1070年左右，奥马来到撒马尔罕(Samarkand，今属乌兹别克)．在当地统治者阿布u2022塔希尔(Ab&T1hir)的庇护下，奥马写成他的主要代数著作《还原与对消问题的论证》

　　(Ris1la fiu2019l－bar1hīnu2018al1 mas1u2019il aljabr wau2019l-muq1bala，Treatise on demonstration of problems of algebra and almuqa－bala)，简称《代数学》．不久，他又接受塞尔柱苏丹(Sultan，最高统治者的称号)杰拉勒丁u2022马利克沙(Jal1l al-Dīn Malik-sh1h，1055—1092)和他的大臣尼赞u2022穆勒克(Niz1m al－Mulk)的邀请，前往伊斯法罕(lsfahan，今伊朗西部)，管理那里的天文台，进行历法改革．他在那里工作了18年之久．这是他一生中最安谧的日子．

　　1092年，政治气候突变，马利克沙去世，庇护人尼赞u2022穆勒克遭到暗杀，奥马备受冷遇．马利克沙的第二个妻子土坎u2022哈通(Turk1n－Kh1t&n)接替执政二年，对奥马很不友善，撤消了天文台的资助，研究工作被迫止，历法改革半途而废．奥马虽已失去昔日的恩宠，但仍留在塞尔柱的宫廷里，尽力劝说马利克沙的继承者重新支持天文台和开展一般的科学研究．他描述伊朗古代的统治者宽宏大量，尊重学者，致力于兴办教育，发展科学，为文化事业立下不朽的功勋．

　　奥马始终未能说服当权者．1118年，马利克沙的第三子桑贾尔(Muu2018izz ad－Dīn Sanjar，1084？—1157)登上王位．奥马离开伊斯法罕，到塞尔柱王朝的新首都梅尔夫[Merv，今马雷(MapЬI)，属土库曼]．他和弟子们一起写了《智慧的天平》(Balance of wisdoms)等书，研究如何利用金属比重去确定合金的成分，所用方法是纯粹代数的．这问题源出于阿基米德的研究．

　　奥马是一个渊博的科学家，但在西方却以诗人而闻名．他写了很多四行诗(quatrain)，其中透露出无神论的自由思想．这在他的一生中导致很多麻烦．晚年的时候，他甚至到麦加去朝觐，力图洗刷人们对他的无神论的指控．

       奥马在伊斯法罕期间，领导一批天文学家编制天文表，为了纪念庇护人，定名为《马利克沙天文表》(Zīj Malik-sh1hī，Maliksh1hAstronomical Tables)，现在只有一小部分流传下来，其中包括黄道坐标表和100颗最亮星的星表等．

　　天文台更重要的工作是进行历法改革．波斯地区自古以来就使用阳历，公元前1世纪施行琐罗亚斯德教(Zoroaster，中国史称祆教、拜火教)的阳历，定一年为365天，分12个月．萨珊(S1s1n)王朝(公元226—621年)定阳历为官历。阿拉伯人征服这个地区以后，实行伊斯兰教的阴历．这种历分一年为12个月，6个大月，6个小月，大月30天，小月29天，全年354天．闰年增加一个闰日成为355天，30年加11个闰日．阴历一年和实际的回归年365.2422日相差约11天，因此和四季是不合拍的，这对农业很不方便．奥马时代，波斯人继续使用传统的阳历，但因置闰的方法不精，渐渐产生误差．有识之士看到，历法要符合天时，必须进行根本的改革．

　　马利克沙执政后，在伊斯法罕兴建天文台，聘请以奥马为首的一群天文学家去完成改革的任务．奥马提出在平年365天的基础上，每33年365.2422 日仅相差19.37秒钟，积4460年才差1天．而现行的公历(格里历)400年置97个闰日，历年长365.2425日，3333年差1天．

　　值得注意的是，如将0.2422展成连分数，可知各个渐近分数是

　　128年差1天．第2个分数是29年7闰，1218年差1天．根据有理逼近的理论，比奥马闰法(33年8闰)更精密的闰法有95年23闰，1万年以上才差1天．如果限定周期小于95年，那么33年8闰就是最佳的选择．这表明奥马有较高的理论水平．他以1079年3月16日为历法的起点，定名为“马利克纪元”(Malik9era)或“杰拉勒纪元”(Jal1l9 era)．可惜改历工作随着领导人的死亡而夭折．

　　伊斯兰教的阴历主要用于宗教，它最大的缺点是和寒暑完全脱节，夏天有时在1月，有时在6月．而奥马改革后的阳历和四季是一致的．他对此颇感欣慰，曾作四行诗以咏其事：

　　啊，人们说我的推算高明，

　　我曾经把旧历的岁时改正——

　　谁知道那只是从历书之中

　　消去未生的明日和已死的昨晨．

提出开高次方根

　　奥马在《代数学》一书中写道：“印度人有他们自己的开平方、开立方方法，……我写过一本书，证明他们的方法是正确的．我并加以推广，可以求平方的平方、平方的立方、立方的立方等高次方根．这些代数的证明仅仅以《几何原本》的代数部分为根据．”

　　这里所说他写的书可能就是《算术问题》．现在莱顿大学藏有奥马著作的手稿，但只有《算术问题》的封面，内容已遗失．

　　奥马所了解的“印度算法”，实际来自两本较早的书．一本是吉利(Kushy1ribn Labb1n al－J9l9)的《印度计算原理》(Princi-ples of Hindu reckoning)；另一本是奈塞维(u2018Al9 ibn Ahmadal－Nasaw9)的《印度计算必备》(Things sufficient to understandHindu reckoning)．然而这些书所记述的开平方、开立方法和印度文献所载的相去颇远，倒是和中国古代的方法密近．中国的《九章算术》早已给出开平方、开立方的完整法则，并推广用于方程的数值解．伊斯兰数学很可能受到中国直接或间接的影响，因为自古以来丝绸之路就是中国和中亚的交通要道．不过由于他们使用了10个印度数码，于是被误认为“印度算法”．

　　在现存的阿拉伯文献中，最早系统地给出自然数开高次方一般法则的是纳西尔丁(Nasir ad－D9n al－T&9，也称图斯)编纂的《算板与沙盘算术方法集成》(Collection on arithmetic by meansof board and dust)．他没有指出发明者，但他非常熟悉奥马的工作，故很可能来自奥马．

用圆锥曲线解三次方程

　　中世纪的阿拉伯数学家对圆锥曲线作了很多探索．最值得称道的是奥马海亚姆用圆锥曲线来解三次方程．这种方法可以溯源于希腊的门奈赫莫斯(Menaechmus)，事实上他就是为了解决倍立方问题(相当于三次方程x3=2a3)而发现圆锥曲线的．后来阿基米德在《论球与圆柱》(On the sphere and cylinder)卷2命题4提出这样的问题：用一平面把球截成两部分，使这两部分的体积成定比．这问题导致三次方程

　　x2(a-x)=bc2．

　　解法的要点是求两条圆锥曲线的交点，一条是双曲线(a－x)y=ab，另一条是抛物线ax2=c2y．

　　阿基米德的“平面截球问题”引起阿拉伯数学家的极大兴趣．巴格达的马哈尼(al－M1h1nī)最先试图用代数方法去解，但没有成功．后来哈津(AbūJa1cfar al－Kh1zin)用圆锥曲线来解．研究这问题的还有库希(al－Kuhi)、伊本·海塞姆(Ibn al－Haytham)、艾布尔·朱德(Abuu2019l Jud)等．

　　奥马的功劳，在于考虑了所有形式的三次方程．由于他只取正根，系数也只限于正数，因此三次方程有各种不同的类型．他将一、二、三次方程归结为25类，属于三次方程的14类：缺一、二次项的x3=a；缺二次项的3类：x3+bx=a，x3+a=bx，bx+a=x3；缺一次项的3类：x3+cx2=a，x3+a=cx2，cx2+a=x3；不缺项的7类：x3+cx2+bx=a，x3+cx2+a=bx，x3+bx+a=cx2，cx2+bx+a=x3，x3+cx2=bx+a，x3+bx=cx2+a，x3+a=cx2+bx．

　　每一类都给出几何解法，即用两条圆锥曲线的交点来确定方程的根．奥马在《代数学》中，专门阐述了方程的几何解法．1851年，F．韦普克(Woepcke)将此书从阿拉伯文译成法文，书名为《奥马海亚姆代数学》(Lu2019algèbre du2019Omar Alkhayyāmī)．以后又有D．S．卡西尔(Kasir)英译校订本《奥马海亚姆代数学》(The algebra of Omar Khayyam，1931)．下面取出其中的一个例子，用现代术语和符号来分析奥马的方法(文献[1]， p．75)．

　　要解的方程是

　　x3+ax=b．(1)

　　按照希腊人的观点，将一个数看作一个线段，那么两个数之积就是矩形，三个数之积是长方体．同维数的量才能相加，所以先将方程改成齐次的形式

　　x3+c2x=c2h．(2)

　　右端c2h表示一个以c，c，h为边的长方体．

　　用解析几何的语言来说，方程(2)的根就是抛物线

　　x2=cy(3 )

　　和半圆周

　　y2=x(h-x)(4)

　　交点的横坐标x．因为从(3)，(4)两式消去y，就得到(2)．

　　此题在原书中是第6章第1题，完全用文字叙述，没有方程的形式．方程(2)表述为“立方与边(根)等于一个数”．解题的步骤是：以BO=h为直径作半圆BPO，作AOD⊥BO，以O为顶点，OA=C为参数”(正焦弦)作抛物线POQ交半圆周于P．作PD⊥AD，PE⊥BO，则PD就是(2)的根(图1)．

　　事实上，记PD=x，PE=y，在半圆内，

　　PE2=y2=EO·BE=PD·BE=x(h-x)，

　　根据抛物线的性质，

　　PD2=x2=OA·PE=cy，

　　这正是(3)，(4)两式．

　　奥马曾探索过三次方程的算术(代数)解法，但没有成功．他在《代数学》中写道：“对于那些不仅含有常数项、一次项、二次项的方程，也许后人能够给出算术解法”．经过几百年的努力，三、四次方程的一般代数解法直到16世纪才由意大利数学家给出，五次以上方程的可解性问题到19世纪才解决①．

推进几何代数学的发展

　　奥马发展了欧几里得的几何代数学，使几何与代数更紧密地联系起来，这是一项重要的贡献．可惜在1851年韦普克的译本出现之前，欧洲人几乎完全不知道他的工作(尽管在18世纪已有一些零星的介绍)、否则解析几何的发现和推进会更加迅速．

　　用现代的观点看，如果引入负数并承认负根，三次方程可以写成统一的形式

　　x3+ax2+b2x+c3=0，(5)

　　不必如此烦琐地分类．以

　　x2=py(6)

　　代入(5)，得到

　　pxy+apy+b2x +c3=0．(7)

　　(6)是抛物线，(7)是双曲线．作出这两条线，交点的横坐标便是(5)的根

对《几何原本》的研究

　　奥马在欧几里得几何的研究方面有两项贡献，一是对平行公设的试证，二是对比与比例提出新的见解．

　　早在9世纪，当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意．所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理：“如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交．”这公设不论在词句或内容方面都比其他四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见．人们自然会发生是否可以证明的疑问．

　　阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里(al－Jawharī)，塔比伊本库拉(Thābit ibn Qurra)，伊本海塞姆(Ibn al－Haytham，即Alhazen)，奥马海亚姆等人．实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它．

　　奥马在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》(Explanation of the difficul－ties in the postulates of Euc－lid)一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题．他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB(图2)．无需用平行公设，很容易证明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三种可能：(1)等于直角；(2)等于钝角；(3)等于锐角．若采用平行公设．可以证明∠C，∠D等于直角．反之，若能证明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公设．奥马用反证法，“证明”钝角、锐角假设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设．但他的证明是有缺陷的，实际是引入下述假设来代替平行公设：两条直线如果越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交．所以他也未解决平行公设问题．

　　18世纪时，G．萨凯里(Saccheri)重新研究这个四边形(后人常称之为“萨凯里四边形”)，由此得出一系列互不矛盾的命题．他和前人虽然未建立(也未意识到)非欧几何，但已为非欧几何的诞生铺平了道路．

比与比例

　　比与比例也是奥马研究的中心问题．早在公元前5世纪，毕达哥拉斯学派就建立过比例论，不过只限于可公度量．如果A，B两个量可公度，即存在正整数m，n，使得mA=nB，则

　　就是一个数．但若A，B不可公度，他们便认为A与B无法相比．这样就很难建立一切量的比例论．欧多克索斯(Eudoxus of Cni－dus)为了摆脱这一困难，另立“比”的定义：如果一个量加大若干倍之后就可以大于另一个量，则说这两个量有一个“比”．接着定义“比例”：设有A，B，C，D4个量，A与C，B与D分别乘以同样的倍数m，n，如果

　　则说两个比A∶B与C∶D相等，即4个量可构成比例A∶B=C∶D．

　　欧多克索斯采取这一定义是煞费苦心的，这样可回避无公度的麻烦，由此出发完成了适用于一切量的比例论．欧几里得将欧多克索斯的理论编入《原本》成为卷V．伊斯兰学者并不怀疑比例论的真理性，而是对其立论的出发点即比例的定义持有异议．最先提出新定义的是马哈尼(al－M1h1n9，他的思路可用现代术语表述如下：将A/B及C/D展开成连分数，A/B=(q1，q2，…，qn，…)，C/D=(qu20321，qu20322，…，qu2032n，…)，其中qi，qu2032i(i=1，2，…)是各个偏商．如果qi=qu2032i(i=1，2，…)则称A，B，C，D成比例，即A/B=C/D．马哈尼认为这定义能更好地揭露比例的本质．它适用于可公度量与不可公度量，在可公度的情况，n是有限的．

　　奥马论证了这种定义和《原本》中比例定义的等价性，进而研究比及比例的若干性质，对伊斯兰数学和西方数学都有重要的影响．

　　另一方面，希腊人虽然承认无公度的两个量A，B有比，但始终不承认A/B是一个数(即无理数)，这就大大妨碍了数学的发展．奥马勇敢地冲破这一桎梏，主张扩大数系，将无公度量的比接纳在内．例如2的平方根，圆周长与直径的比等等，应该考虑为一种新的数．这在思想上是一次不寻常的飞跃，是建立实数系的先声．然而直到19世纪才真正实现了他的理想．

四行诗

　　四行诗很像中国的绝句，每首四行，第一、二、四行押韵．奥马究竟写了多少首四行诗，没有准确的数字．剑桥大学图书馆藏有最早的(1208年)手抄本，收入252首．而在他名义下出版的波斯文诗集多达1069首．但有人考证只有一百多首确实是他作的．1859年，英国诗人菲茨杰拉德(Edward Fitz Gerald)将75首译成英文，取名“Rubáiyát of Omar Khayyam”，广为流传．郭沫若于1928年将英译本译成中文，题名《鲁拜集》．(鲁拜是阿拉伯语，意为四行诗．)

　　奥马曾写过几种哲学著作，他的四行诗也包含很多哲理，其中表露的思想相当复杂．很难作出一致的评价．一方面，诗作的可靠性问题众说纷纭；另一方面，在官方的示意下有时很难畅所欲言．因此对他的议论褒贬不一，毁誉参半．总的来说，他不囿于伊斯兰教所宣扬的真主创造世界的观点，对窒息学术探讨的社会环境表示不满．正统的穆斯林不喜欢他，但广大读者爱读他的诗，从中得到启迪，进而探索人生的真谛．后人为了纪念他，1934年由多国集资，在内沙布尔为他修建了一座高大的陵墓．