1910年进入利沃夫工学院学习，1919年获博士学位。1919年起任利沃夫工学院数学讲师，1922年转为利沃夫大学的讲师，1927年成为教授。先後被选为波兰科学院和乌克兰科学院的通讯院士、波兰数学学会主席。第二次世界大战期间，波兰被德军占领，他在一所医学研究所做喂养昆虫的工作，停战後又回到利沃夫大学工作。

巴拿赫是利沃夫学派的开创人之一，对泛函分析的发展做出了突出贡献。他引进了线性赋范空间的概念，建立了其上的线性算子理论。他证明了作为泛函分析基础的三个定理：哈恩─巴拿赫延拓定理、巴拿赫─斯坦因豪斯定理及闭图象定理。这些定理概括了许多经典的分析结果，在理论上和应用上都有重要价值。人们把完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间。此外，巴拿赫在正交级数论、集合论、测度论、积分论、常微分方程论、复变函数论等方面都有很多出色的工作。

其主要著作《线性算子理论》被译成多种文字，有很大影响。